Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

¿Qué son las ecuaciones diferenciales?

Son modelos matemáticos que describen un fenómeno a través del tiempo.

• Una ecuación que relaciona una función desconocida con una o más de sus derivadas es una ecuación diferencial
• Es aquella que tiene derivadas o diferenciales

En sí, la realidad en movimiento motivó el desarrollo de las ecuaciones diferenciales, en donde existe un cambio a través del tiempo, por lo tanto, se emplean funciones que dependen del tiempo bajo el modelo de una ecuación diferencial para describir dichas funciones.

Como ejemplos podemos mencionar algunos a continuación:

• Población (t)
• Velocidad (t)
• Temperatura (t)
• Crecimiento (t)

Clasificación

Empleando los siguientes ejemplos de ecuaciones diferenciales se pretende dar la clasificación por Tipo, Orden y Grado.

Tipo: Normalmente se distinguen dos clases de ecuaciones diferenciales, las ordinarias y las parciales, en donde se refiere al tipo de diferenciales que componen la ecuación.

Orden: El orden de una ecuación diferencial (E.D.) está determinado por la derivada de mayor orden, señalado por el valor de la máxima potencia en cualesquiera de las derivadas.

Grado: Es la potencia de la derivada de mayor orden, lo que implica que sea o no lineal.

Ejemplo 1.

Podemos observar que está compuesta por derivadas parciales, además de que dichas ordenadas son de primer orden.

Tipo: Parcial, Orden: 1° Orden, Grado: Lineal.

Ejemplo 2.

Ahora, el tipo de diferencial en la ecuación ha cambiado, al igual que el orden máximo, sin embargo se incluye una variable trigonométrica de la cual cabe mencionar es independiente.

Tipo: Ordinaria, Orden: 2° Orden, Grado: Lineal.

Ejemplo 3.

 (1)

En ocasiones, ecuaciones de éste tipo requieren de un análisis más detenido, implicando el desarrollarlas un poco más para observarlas de otra manera, en éste caso, para clasificarla adecuadamente.                                                                                   (2)    

(3)

Quedando así reescrita la ecuación 1 cómo la nueva ecuación 3 sin alteraciones.

Tipo: Ordinaria, Orden: 1° Orden, Grado: No lineal

El grado es no lineal debido a que la ecuación 3 tiene el término y^2.