Campo de Direcciones

Si tenemos la E.D:

Bajo alguna condición inicial:

Podemos obtener una solución:

Dicha ecuación diferencial representa una familia de curvas integrales, con la siguiente forma:

Con un ejemplo más simple, podemos determinar una solución, en éste caso, para la siguiente ecuación:,

Que podemos reescribir de la siguiente forma:,

Donde el término dy/dx representa a la pendiente de una función recta, o una derivada.

Ésta ecuación cuenta con muchas pendientes, debido a que pueden poseer diferentes direcciones.

Suponiendo que:,

Se presenta que:

En donde cada circunferencia que representa la solución de la ecuación diferencial corresponde a un valor distinto para valores constantes que pueden ser cualesquiera, sin embargo, sin importar que solución se tome en cuenta, cada valor de la pendiente define una sola dirección. 

CAMPO DE DIRECCIONES: La terna ( x, y, y' ) define un conjunto de segmentos de recta en el punto ( x, y ) con dirección y' llamado campo de direcciones. 

El conjunto de todas las circunferencias posibles representa a una familia de direcciones, sin embargo, es posible que dada una familia de direcciones, conociendo los valores de las pendientes en distintos puntos ( x, y ) se encuentre una ecuación que satisfaga la familia de direcciones.

En éste caso observamos que las pendientes de cualquier valor e inclinación son iguales a x, por lo que establecemos la ecuación diferencial:

Así mismo, se puede afirmar que la solución general corresponde a cualquier parábola en la familia de direcciones, variando únicamente entre si asignándose cualquier valor a la constante.

Soluciones de Ecuaciones Diferenciales

Solución de una Ecuación Diferencial

Función que satisface la ecuación, puede clasificarse como:

• Solución General: Función con constantes arbitrarias

• Solución Particular: Función con constantes no arbitrarias, bajo ciertas condiciones.

Ejemplo. Sea la ecuación diferencial:

 Solución General:

Solución Particular:

Ejemplo de solución general:

Siendo C la constante, ésta puede obtener cualquier valor dentro del conjunto de números reales, lo que lleva a concluir que existen varias soluciones para la ecuación diferencial. 

Si  la ecuación diferencial presenta alguna condición inicial con la que se pretenda obtener una solución posible de una familia de soluciones posibles, entonces estaremos hablando de encontrar una solución particular.

Ejemplo de solución particular:

Suponiendo que si

, entonces el valor de la constante es determinado como posible solución única, por lo que la solución es particular.

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

¿Qué son las ecuaciones diferenciales?

Son modelos matemáticos que describen un fenómeno a través del tiempo.

• Una ecuación que relaciona una función desconocida con una o más de sus derivadas es una ecuación diferencial
• Es aquella que tiene derivadas o diferenciales

En sí, la realidad en movimiento motivó el desarrollo de las ecuaciones diferenciales, en donde existe un cambio a través del tiempo, por lo tanto, se emplean funciones que dependen del tiempo bajo el modelo de una ecuación diferencial para describir dichas funciones.

Como ejemplos podemos mencionar algunos a continuación:

• Población (t)
• Velocidad (t)
• Temperatura (t)
• Crecimiento (t)

Clasificación

Empleando los siguientes ejemplos de ecuaciones diferenciales se pretende dar la clasificación por Tipo, Orden y Grado.

Tipo: Normalmente se distinguen dos clases de ecuaciones diferenciales, las ordinarias y las parciales, en donde se refiere al tipo de diferenciales que componen la ecuación.

Orden: El orden de una ecuación diferencial (E.D.) está determinado por la derivada de mayor orden, señalado por el valor de la máxima potencia en cualesquiera de las derivadas.

Grado: Es la potencia de la derivada de mayor orden, lo que implica que sea o no lineal.

Ejemplo 1.

Podemos observar que está compuesta por derivadas parciales, además de que dichas ordenadas son de primer orden.

Tipo: Parcial, Orden: 1° Orden, Grado: Lineal.

Ejemplo 2.

Ahora, el tipo de diferencial en la ecuación ha cambiado, al igual que el orden máximo, sin embargo se incluye una variable trigonométrica de la cual cabe mencionar es independiente.

Tipo: Ordinaria, Orden: 2° Orden, Grado: Lineal.

Ejemplo 3.

 (1)

En ocasiones, ecuaciones de éste tipo requieren de un análisis más detenido, implicando el desarrollarlas un poco más para observarlas de otra manera, en éste caso, para clasificarla adecuadamente.                                                                                   (2)    

(3)

Quedando así reescrita la ecuación 1 cómo la nueva ecuación 3 sin alteraciones.

Tipo: Ordinaria, Orden: 1° Orden, Grado: No lineal

El grado es no lineal debido a que la ecuación 3 tiene el término y^2.