Campo de Direcciones

Si tenemos la E.D:

Bajo alguna condición inicial:

Podemos obtener una solución:

Dicha ecuación diferencial representa una familia de curvas integrales, con la siguiente forma:

Con un ejemplo más simple, podemos determinar una solución, en éste caso, para la siguiente ecuación:,

Que podemos reescribir de la siguiente forma:,

Donde el término dy/dx representa a la pendiente de una función recta, o una derivada.

Ésta ecuación cuenta con muchas pendientes, debido a que pueden poseer diferentes direcciones.

Suponiendo que:,

Se presenta que:

En donde cada circunferencia que representa la solución de la ecuación diferencial corresponde a un valor distinto para valores constantes que pueden ser cualesquiera, sin embargo, sin importar que solución se tome en cuenta, cada valor de la pendiente define una sola dirección. 

CAMPO DE DIRECCIONES: La terna ( x, y, y' ) define un conjunto de segmentos de recta en el punto ( x, y ) con dirección y' llamado campo de direcciones. 

El conjunto de todas las circunferencias posibles representa a una familia de direcciones, sin embargo, es posible que dada una familia de direcciones, conociendo los valores de las pendientes en distintos puntos ( x, y ) se encuentre una ecuación que satisfaga la familia de direcciones.

En éste caso observamos que las pendientes de cualquier valor e inclinación son iguales a x, por lo que establecemos la ecuación diferencial:

Así mismo, se puede afirmar que la solución general corresponde a cualquier parábola en la familia de direcciones, variando únicamente entre si asignándose cualquier valor a la constante.